Question

13．已知函數f（x）=2cosxsin（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
（1）求函數f（x）的對稱軸方程；
（2）若方程sin2x+2|f（x+$\frac{π}{12}$）|-m+1=0在x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]上有三個實數解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用差角的正弦公式、二倍角公式、輔助角公式，化簡函數，即可求函數f（x）的對稱軸方程；
（2）方程sin2x+2|f（x+$\frac{π}{12}$）|-m+1=0可化為方程sin2x+2|sin2x|=m-1．令g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3sin2x，x∈[0，\frac{π}{2}]}\\{-sin2x，x∈[-\frac{π}{3}，0）}\end{array}\right.$，根據方程有三個實數解，則m-1=1或0＜m-1＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可求實數m的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=2cosxsin（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$sinxcosx-$co{s}^{2}x+\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x$=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴函數f（x）的對稱軸方程x=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}$，k∈Z；．…（7分）
（2）方程sin2x+2|f（x+$\frac{π}{12}$）|-m+1=0可化為方程sin2x+2|sin2x|=m-1．
令g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3sin2x，x∈[0，\frac{π}{2}]}\\{-sin2x，x∈[-\frac{π}{3}，0）}\end{array}\right.$…（10分） 
若方程有三個實數解，則m-1=1或0＜m-1＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴m=2或1＜m＜1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$…（15分）

點評 本題考查三角函數的化簡，考查三角函數的圖象與性質，考查學生轉化問題的能力，屬于中檔題．