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6.已知AB是單位圓O上的一條弦,λ∈R,若$|{\overrightarrow{OA}-λ\overrightarrow{OB}}|$的最小值是$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,則|AB|=1或$\sqrt{3}$,此時λ=$±\frac{1}{2}$.

分析 不妨設$\overrightarrow{OA}$=(1,0),$\overrightarrow{OB}$=(cosθ,sinθ),θ∈[0,2π).則$|{\overrightarrow{OA}-λ\overrightarrow{OB}}|$=$\sqrt{(1-λcosθ)^{2}+(λsinθ)^{2}}$=$\sqrt{(λ-cosθ)^{2}+1-co{s}^{2}θ}$≥$\sqrt{si{n}^{2}θ}$=|sinθ|=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,可得θ=$\frac{π}{3}$,$\frac{5π}{3}$,$\frac{2π}{3}$,$\frac{4π}{3}$.即可得出.

解答 解:不妨設$\overrightarrow{OA}$=(1,0),$\overrightarrow{OB}$=(cosθ,sinθ),θ∈[0,2π).
則$|{\overrightarrow{OA}-λ\overrightarrow{OB}}|$=$\sqrt{(1-λcosθ)^{2}+(λsinθ)^{2}}$=$\sqrt{1+{λ}^{2}-2λcosθ}$=$\sqrt{(λ-cosθ)^{2}+1-co{s}^{2}θ}$
≥$\sqrt{si{n}^{2}θ}$=|sinθ|=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,
∴θ=$\frac{π}{3}$,$\frac{5π}{3}$,$\frac{2π}{3}$,$\frac{4π}{3}$.
$\overrightarrow{OB}$=$(\frac{1}{2},±\frac{\sqrt{3}}{2})$,或$\overrightarrow{OB}$=$(-\frac{1}{2},±\frac{\sqrt{3}}{2})$.
則|AB|=1或$\sqrt{3}$.
此時λ=cosθ=$±\frac{1}{2}$.
故答案分別為:1或$\sqrt{3}$,$±\frac{1}{2}$.

點評 本題考查了向量模的計算公式、三角函數求值、二次函數的性質,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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