Question

6．已知AB是單位圓O上的一條弦，λ∈R，若$|{\overrightarrow{OA}-λ\overrightarrow{OB}}|$的最小值是$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，則|AB|=1或$\sqrt{3}$，此時λ=$±\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 不妨設$\overrightarrow{OA}$=（1，0），$\overrightarrow{OB}$=（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）．則$|{\overrightarrow{OA}-λ\overrightarrow{OB}}|$=$\sqrt{（1-λcosθ）^{2}+（λsinθ）^{2}}$=$\sqrt{（λ-cosθ）^{2}+1-co{s}^{2}θ}$≥$\sqrt{si{n}^{2}θ}$=|sinθ|=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，可得θ=$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$，$\frac{2π}{3}$，$\frac{4π}{3}$．即可得出．

解答 解：不妨設$\overrightarrow{OA}$=（1，0），$\overrightarrow{OB}$=（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）．
則$|{\overrightarrow{OA}-λ\overrightarrow{OB}}|$=$\sqrt{（1-λcosθ）^{2}+（λsinθ）^{2}}$=$\sqrt{1+{λ}^{2}-2λcosθ}$=$\sqrt{（λ-cosθ）^{2}+1-co{s}^{2}θ}$
≥$\sqrt{si{n}^{2}θ}$=|sinθ|=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$，$\frac{2π}{3}$，$\frac{4π}{3}$．
$\overrightarrow{OB}$=$（\frac{1}{2}，±\frac{\sqrt{3}}{2}）$，或$\overrightarrow{OB}$=$（-\frac{1}{2}，±\frac{\sqrt{3}}{2}）$．
則|AB|=1或$\sqrt{3}$．
此時λ=cosθ=$±\frac{1}{2}$．
故答案分別為：1或$\sqrt{3}$，$±\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了向量模的計算公式、三角函數求值、二次函數的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．