Question

20．如圖，在△ABC中，點E為AB邊的中點，點F在AC邊上，且CF=2FA，BF交CE于點M，設$\overrightarrow{AM}$=x$\overrightarrow{AE}$+y$\overrightarrow{AF}$，則x+y=$\frac{1}{5}$．

Answer 1

分析 分別在△AEM、△AFM中，由向量的加法法則利用算兩次的方法，代入已知條件計算，即可得出結論．

解答 解：由圖及向量的加法和減法可知：$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AE}$+$\overrightarrow{EM}$，
由$\overrightarrow{EM}$與$\overrightarrow{EC}$共線，可設$\overrightarrow{EM}$=m$\overrightarrow{EC}$，∴$\overrightarrow{AM}$=（1-m）$\overrightarrow{AE}$+3m$\overrightarrow{AF}$；
同理可得$\overrightarrow{AM}$=（1-n）$\overrightarrow{AF}$+2n$\overrightarrow{AE}$；
又$\overrightarrow{AM}$=x$\overrightarrow{AE}$+y$\overrightarrow{AF}$，則$\left\{\begin{array}{l}{1-m=2n=x}\\{3m=1-n=y}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{4}{5}$，y=$\frac{3}{5}$．
∴x-y=$\frac{1}{5}$．
故答案為$\frac{1}{5}$．

點評 本題考查平面向量基本定理的運用，充分理解向量的運算法則及共線的意義是解題的關鍵．