Question

8．在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知直線l的極坐標方程為$ρsin（\frac{π}{6}-θ）=m$（m為常數），圓C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+2sinα\\ y=\sqrt{3}+2sinα\end{array}$（α為參數）
（1）求直線l的直角坐標方程和圓C的普通方程；
（2）若圓心C關于直線l的對稱點亦在圓上，求實數m的值．

Answer 1

分析 （1）利用三種方程的互化方法，即可求直線l的直角坐標方程和圓C的普通方程；
（2）圓心C關于直線的對稱點亦在圓上，圓心C到直線的距離為1，即可求實數m的值．

解答 解：（1）由$ρsin（\frac{π}{6}-θ）=m$，展開可得：$ρsin\frac{π}{6}cosθ-ρcos\frac{π}{6}sinθ=m$，
直線l的直角坐標方程為：$x-\sqrt{3}y-2m=0$．
由圓C的參數方程$\left\{\begin{array}{l}x=-1+2sinα\\ y=\sqrt{3}+2sinα\end{array}\right.（α為參數）$．可得：圓C：$（x+1{）^2}+{（y-\sqrt{3}）^2}=4$．
（2）圓C的圓心C的坐標C（-1，$\sqrt{3}$），
∵圓心C關于直線的對稱點亦在圓上，∴圓心C到直線的距離為1，
∴$\frac{{|-1-\sqrt{3}•\sqrt{3}-2m|}}{2}=1$，解得m=-1或m=-3．

點評 本題考查極坐標方程、參數方程、直角坐標方程的互化，考查點到直線的距離公式，屬于中檔題．