Question

9．設函數f（x）=（1-ax）ln（x+1）-bx，其中a和b是實數，曲線y=f（x）恒與x軸相切于坐標原點．
（1）求常數b的值；
（2）當a=1時，討論函數f（x）的單調性；
（3）當0≤x≤1時關于x的不等式f（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對f（x）求導，根據條件知f'（0）=0，所以1-b=0；
（2）當a=1時，f（x）=（1-x）ln（x+1）-x，f（x）的定義域為（-1，+∞）；令f'（x）=0，則導函數零點x+1=1，故x=0；
當x∈（-1，0），f'（x）＞0，f（x）在（-1，0）上單調遞增；當x∈（0，+∞）上，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上單調遞減；
（3）因為f（x）=（1-ax）ln（x+1）-x，0≤x≤1，對a進行分類討論根據函數的單調性求得參數a使得不等式f（x）≥0；

解答 解：（1）對f（x）求導得：
f'（x）=-aln（x+1）+$\frac{1-ax}{x+1}-b$
根據條件知f'（0）=0，所以1-b=0，
故b=1．
（2）當a=1時，f（x）=（1-x）ln（x+1）-x，f（x）的定義域為（-1，+∞）
f'（x）=-ln（x+1）+$\frac{1-x}{x+1}$-1=-ln（x+1）+$\frac{2}{x+1}$-2
令f'（x）=0，則導函數零點x+1=1，故x=0；
當x∈（-1，0），f'（x）＞0，f（x）在（-1，0）上單調遞增；
當x∈（0，+∞）上，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上單調遞減；
（3）由（1）知，f（x）=（1-ax）ln（x+1）-x，0≤x≤1
f'（x）=-aln（x+1）+$\frac{1-ax}{1+x}$-1
f''（x）=-$\frac{ax+2a+1}{（1+x）^{2}}$
①當a$≤\frac{1}{2}$時，因為0≤x≤1，有f''（x）≥0，于是f'（x）在[0，1]上單調遞增，從而f'（x）≥f'（0）=0，
因此f（x）在[0，1]上單調遞增，即f（x）≥f（0）而且僅有f（0）=0；
②當a≥0時，因為0≤x≤1，有f''（x）＜0，于是f'（x）在[0，1]上單調遞減，從而f'（x）≤f'（0）=0，
因此f（x）在[0，1]上單調遞減，即f（x）≤f（0）=0而且僅有f（0）=0；
③當-$\frac{1}{2}$＜a＜0時，令m=min{1，-$\frac{2a+1}{a}$}，當0≤x≤m時，f''（x）＜0，于是f'（x）在[0，m]上單調遞減，從而f'（x）≤f'（0）=0
因此f（x）在[0，m]上單調遞減，即f（x）≤f（0）而且僅有f（0）=0；
綜上：所求實數a的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{2}$]．

點評 本題主要考查了導數的定義，利用導數判斷函數的單調性以及分類討論與函數的最值問題，屬中等題．