Question

6．我們知道，如果定義在某區間上的函數f（x）滿足對該區間上的任意兩個數x₁，x₂，總有不等式$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}≤f（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}）$成立，則稱函數f（x）在該區間上的向上凸函數（簡稱上凸）．類比上述定義，對于數列{a_n}，如果對任意正整數n，總有不等式$\frac{{{a_n}+{a_{n+2}}}}{2}≤{a_{n+1}}$成立，則稱數列{a_n}為向上凸數列（簡稱上凸數列），現有數列{a_n}滿足如下兩個條件：
①數列{a_n}為上凸數列，且a₁=1，a₁₀=28；
②對正整數n（1≤n＜10，n∈N^*），都有|a_n-b_n|≤20，其中${b_n}={n^2}-6n+10$，則數列{a_n}中的第三項a₃的取值范圍為[7，19]．

Answer 1

分析 根據數列{a_n}為上凸數列，且a₁=1，a₁₀=28，求出a₃≥7…①．根據正整數n（1≤n＜10，n∈N^*），都有|a_n-b_n|≤20，求出19≤a₃≤19…②．問題得以解決

解答 解：∵$\frac{{{a_n}+{a_{n+2}}}}{2}≤{a_{n+1}}$，
∴a_n+a_n+2≤2a_n+1，
∴a_n+a_n+2≤2a_n+1，
∴a_n+2-a_n+1≤a_n+1-a_n，
∴$\frac{{a}_{n+2}-{a}_{n+1}}{（n+2）-（n+1）}$≤$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{（n+1）-n}$，
∴$\frac{{a}_{10}-{a}_{1}}{10-1}$≤$\frac{{a}_{3}-{a}_{1}}{3-1}$
把a₁=1，a₁₀=28代入，得a₃≥7…①．
在|a_n-b_n|≤20，b_n=n²-6n+10中，令n=3，得b₃=9-18+10=1，
∴-20≤a₃-b₃≤20，
∴-19≤a₃≤19…②．
①②聯立得7≤a₃≤19．
故答案為：[7，19]．

點評 本題新定義的學習和應用，考查了學生的轉化能力和運算能力，屬于中檔題