Question

16．設實數x，y滿足條件$\left\{\begin{array}{l}x-y+2≥0\\ 2x-y-4≤0\\ x≥0，y≥0\end{array}\right.$，若目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為12，則$\frac{3}{a}+\frac{4}$的最小值為$\frac{49}{6}$．

Answer 1

分析 作出不等式對應的平面區域，利用線性規劃的知識先求出a，b的關系，然后利用基本不等式求$\frac{3}{a}+\frac{4}$的最小值．

解答 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=$-\frac{a}x+\frac{z}$，
作出可行域如圖：
∵a＞0，b＞0，
∴直線y=$-\frac{a}x+\frac{z}$的斜率為負，且截距最大時，z也最大．
平移直線y=$-\frac{a}x+\frac{z}$，由圖象可知當y=$-\frac{a}x+\frac{z}$經過點A時，
直線的截距最大，此時z也最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{2x-y-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=8}\end{array}\right.$，即A（6，8）．
此時z=6a+8b=12，
即$\frac{a}{2}$+$\frac{2b}{3}$=1，
則$\frac{3}{a}+\frac{4}$=（$\frac{3}{a}+\frac{4}$）（$\frac{a}{2}$+$\frac{2b}{3}$）
=$\frac{3}{2}$+$\frac{8}{3}$+$\frac{2b}{a}$+$\frac{2a}$≥$\frac{25}{6}$+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{2a}}$=$\frac{25}{6}$+4=$\frac{49}{6}$，
當且僅當$\frac{2b}{a}$=$\frac{2a}$時取=號，
故答案為：$\frac{49}{6}$

點評 本題主要考查線性規劃的應用以及基本不等式的應用，利用數形結合是解決線性規劃題目的常用方法．