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2.已知AB是圓C:(x+2)2+(y-l)2=$\frac{2}{5}$的一條直徑,若楠圓x2+4y2=4b2(b∈R)經過 A、B 兩點,則該橢圓的方程是$\frac{{x}^{2}}{\frac{216}{25}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{54}{25}}$=1.

分析 易知,AB不與x軸垂直,設其直線方程為y=k(x+2)+1,代入x2+4y2=4b2,利用|AB|=2$\sqrt{\frac{2}{5}}$,即可得出結論.

解答 解:由依題意,圓心M(-2,1)是線段AB的中點,且|AB|=2$\sqrt{\frac{2}{5}}$.
由題意知,AB不與x軸垂直,設其直線方程為y=k(x+2)+1,代入x2+4y2=4b2得:(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0,
設A(x1,y1),B(x2,y2),則${x_1}+{x_2}=-\frac{8k(2k+1)}{{1+4{k^2}}}$,$x•{x_2}=\frac{{4{{(2k+1)}^2}-4{b^2}}}{{1+4{k^2}}}$,
由x1+x2=-4,得${x_1}+{x_2}=-\frac{8k(2k+1)}{{1+4{k^2}}}$=-4,解得k=$\frac{1}{2}$.
從而x1x2=8-2b2
于是|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$•|x1-x2|=$\sqrt{10({b}^{2}-2)}$=2$\sqrt{\frac{2}{5}}$.
解得b2=$\frac{54}{25}$.
故橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{216}{25}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{54}{25}}$=1.
故答案為$\frac{{x}^{2}}{\frac{216}{25}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{54}{25}}$=1.

點評 本題考查橢圓的方程,考查直線與橢圓的位置關系,考查學生的計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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組別[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]
頻數1213241516137
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A.B.C. D. 

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