Question

2．已知AB是圓C：（x+2）²+（y-l）²=$\frac{2}{5}$的一條直徑，若楠圓x²+4y²=4b²（b∈R）經過 A、B 兩點，則該橢圓的方程是$\frac{{x}^{2}}{\frac{216}{25}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{54}{25}}$=1．

Answer 1

分析 易知，AB不與x軸垂直，設其直線方程為y=k（x+2）+1，代入x²+4y²=4b²，利用|AB|=2$\sqrt{\frac{2}{5}}$，即可得出結論．

解答 解：由依題意，圓心M（-2，1）是線段AB的中點，且|AB|=2$\sqrt{\frac{2}{5}}$．
由題意知，AB不與x軸垂直，設其直線方程為y=k（x+2）+1，代入x²+4y²=4b²得：（1+4k²）x²+8k（2k+1）x+4（2k+1）²-4b²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=-\frac{8k（2k+1）}{{1+4{k^2}}}$，$x•{x_2}=\frac{{4{{（2k+1）}^2}-4{b^2}}}{{1+4{k^2}}}$，
由x₁+x₂=-4，得${x_1}+{x_2}=-\frac{8k（2k+1）}{{1+4{k^2}}}$=-4，解得k=$\frac{1}{2}$．
從而x₁x₂=8-2b²．
于是|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{10（{b}^{2}-2）}$=2$\sqrt{\frac{2}{5}}$．
解得b²=$\frac{54}{25}$．
故橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{216}{25}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{54}{25}}$=1．
故答案為$\frac{{x}^{2}}{\frac{216}{25}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{54}{25}}$=1．

點評 本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．