Question

6．已知向量$\overrightarrow{m}$=（cosα，-1），$\overrightarrow{n}$=（2，sinα），其中$α∈（0，\frac{π}{2}）$，且$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$．
（1）求cos2α的值；
（2）若sin（α-β）=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，且$β∈（0，\frac{π}{2}）$，求角β．

Answer 1

分析 （1）由已知得$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=2cosα-sinα=0，從而sin²α+cos²α=5cos²α=1，進而cos²α=$\frac{1}{5}$，由此能求出cos2α．
（2）由cos²α=$\frac{1}{5}$，$α∈（0，\frac{π}{2}）$，得cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinα=$\sqrt{1-\frac{1}{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，由sin（α-β）=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，且$β∈（0，\frac{π}{2}）$，得sinβ=2cos$β-\frac{\sqrt{2}}{2}$，由此能求出β的值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（cosα，-1），$\overrightarrow{n}$=（2，sinα），其中$α∈（0，\frac{π}{2}）$，且$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$．
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=2cosα-sinα=0，
∴sin²α+cos²α=5cos²α=1，∴cos²α=$\frac{1}{5}$，
∴cos2α=2cos²α-1=-$\frac{3}{5}$．
（2）∵cos²α=$\frac{1}{5}$，$α∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinα=$\sqrt{1-\frac{1}{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵sin（α-β）=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，且$β∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴sinαcosβ-cosαsinβ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}cosβ-\frac{\sqrt{5}}{5}sinβ=\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴2cosβ-sinβ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴sinβ=2cos$β-\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴sin²β+cos²β=5cos²β-2$\sqrt{2}cosβ$-$\frac{1}{2}$=0，
解得cosβ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或cosβ=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$（舍），
∵$β∈（0，\frac{π}{2}）$，∴β=$\frac{π}{4}$．

點評 本題考查角的余弦值的求法，考查角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意三角函數性質的合理運用．