Question

17．設$\overrightarrow a，\overrightarrow b$是兩個非零向量，且$|\overrightarrow a|=|\overrightarrow b|$=$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|=2$，則向量$\vec b•（\vec a-\vec b）$為-6．

Answer 1

分析 根據條件，可作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，并以OA，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，從而$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，這樣便可得到平行四邊形OACB為菱形，∠AOB=120°，從而可求得AB=$2\sqrt{3}$，而$\overrightarrow•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）=\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{BA}$，且$|\overrightarrow{OB}|=2，|\overrightarrow{BA}|=2\sqrt{3}$，$＜\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{BA}＞=150°$，從而可求出$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{BA}$的值，即得出$\overrightarrow•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）$的值．

解答 解：∵$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|=|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=2$；
∴作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，以OA，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，如圖所示：

則，△OAC，△OBC都是等邊三角形；
∴∠AOB=120°，且OA=OB=2；
∴$AB=2\sqrt{3}$；
∴$\overrightarrow•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）=\overrightarrow{OB}•（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}）$
=$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{BA}$
=$|\overrightarrow{OB}||\overrightarrow{BA}|cos150°$
=$2×2\sqrt{3}×（-\frac{\sqrt{3}}{2}）$
=-6．
故答案為：-6．

點評 考查向量加法的平行四邊形法則，向量的幾何意義，三角函數的定義，向量減法的幾何意義，以及數量積的計算公式．