Question

5．已知f（x）是一次函數，且f（0）=1，f（1）=3，
（1）求函數f（x）的解析式．
（2）若g（x）=2^f（x），且g（m²-2）＜g（m），求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設f（x）=kx+b，由$\left\{\begin{array}{l}f（0）=1\\ f（1）=3\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}b=1\\ k+b=3\end{array}\right.$，解得函數f（x）的解析式．
（2）g（x）=2^f（x）=2^2x+1在R上單調遞增，若g（m²-2）＜g（m），則m²-2＜m，解得m的取值范圍．

解答 （本小題滿分10分）
解：（1）設f（x）=kx+b…（1分）
由$\left\{\begin{array}{l}f（0）=1\\ f（1）=3\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}b=1\\ k+b=3\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}k=2\\ b=1\end{array}\right.$…（3分）
∴f（x）=2x+1…（5分）
（2）g（x）=2^2x+1在R上單調遞增　　…（7分）
若g（m²-2）＜g（m），
則m²-2＜m，
解得：-1＜m＜2…（10分）

點評 本題考查的知識點是復合函數的單調性，利用單調性解不等式，待定系數法求函數的解析式．