Question

18．如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于點E，將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁E⊥EB．

（1）求證：A₁D⊥DC；
（2）求二面角E-A₁B-C的余弦值；
（3）判斷在線段EB上是否存在一點P，使平面A₁DP⊥平面A₁BC？若存在，求出$\frac{EP}{EB}$的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意知EA₁，EB，ED兩兩垂直，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明A₁D⊥DC．
（2）求出平面A₁BE的一個向量和平面A₁BC的一個法向量，利用向量法能求出二面角E-A₁B-C的余弦值．
（3）設$\frac{EP}{EB}$=λ（0≤λ≤1），$\overrightarrow{{A}_{1}P}$=$\overrightarrow{{A}_{1}E}+\overrightarrow{EP}$=$\overrightarrow{{A}_{1}E}+λ\overrightarrow{EB}$=（-2，2λ，0），求出平面A₁DP的法向量和平面A₁BC法向量，利用向量法能求出在線段EB上存在一點P，使平面A₁DP⊥平面A₁BC．

解答 證明：（1）∵在邊長為4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于點E，
將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁E⊥EB．
∴由題意知EA₁，EB，ED兩兩垂直，建立空間直角坐標系，
由題意得DE=2$\sqrt{3}$，從而A₁（2，0，0），B（0，2，0），C（0，4，2$\sqrt{3}$），D（0，0，2$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（-2，0，2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{DC}$=（0，4，0），
∵$\overrightarrow{{A}_{1}D}$•$\overrightarrow{DC}$=0，∴A₁D⊥DC．
解：（2）平面A₁BE的一個向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（2，-2，0），$\overrightarrow{BC}$=（0，2，2$\sqrt{3}$），
設平面A₁BC的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=2x-2y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=2y+2\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，令z=1，則$\overrightarrow{m}$=（-$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$，1），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴二面角E-A₁B-C的余弦值為-$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
（3）若存在一點P，使平面A₁DP⊥平面A₁BC，
設$\frac{EP}{EB}$=λ（0≤λ≤1），$\overrightarrow{{A}_{1}P}$=$\overrightarrow{{A}_{1}E}+\overrightarrow{EP}$=$\overrightarrow{{A}_{1}E}+λ\overrightarrow{EB}$=（-2，2λ，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（-2，0，2$\sqrt{3}$），
設平面A₁DP的法向量$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}P}=-2a+2bλ=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=-2a+2\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$，令c=λ，則$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}λ，\sqrt{3}，λ$），
則平面A₁BC法向量$\overrightarrow{m}$=（-$\sqrt{3}，-\sqrt{3}$，1），
∵平面A₁DP⊥平面A₁BC，
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=-3λ-3+λ=0，
解得λ=-$\frac{3}{2}$，與0≤λ≤1矛盾，
∴在線段EB上存在一點P，使平面A₁DP⊥平面A₁BC．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查線段比值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．