Question

18．若等邊△ABC的邊長為1，平面內一點M滿足$\overrightarrow{CM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CB}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$，則$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$的值為（　　）

• A． $\frac{2}{9}$
• B． $\frac{3}{7}$
• C． $\frac{5}{6}$
• D． -$\frac{2}{9}$

Answer 1

分析 根據三角形法則分別將$\overrightarrow{MA}、\overrightarrow{MB}$用$\overrightarrow{CA}$、$\overrightarrow{CB}$表示出來，根據向量的數量積運算法則計算出結果即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{CM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CB}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$，
∴$\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CM}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}-\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CM}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$，
∴$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=-$\frac{1}{4}{\overrightarrow{CA}}^{2}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$-$\frac{2}{9}{\overrightarrow{CB}}^{2}$，
又△ABC為邊長為1的等邊三角形，
∴$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=-$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{2}{9}=-\frac{2}{9}$．
故選：D．

點評 本題主要考查了向量的三角形法則和數量積的運算，屬于中檔題．