Question

3．定義：若$\frac{f（x）}{{x}^{k}}$在[k，+∞）上為增函數，則稱f（x）為“k次比增函數”，其中（k∈N^*）．已知f（x）=e^ax其中e為自然對數的底數．
（1）若f（x）是“1次比增函數”，求實數a的取值范圍；
（2）當a=$\frac{1}{2}$時，求函數g（x）=$\frac{f（x）}{x}$在[m，m+1]（m＞0）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題知y=$\frac{{e}^{ax}}{x}$在[1，+∞]上為增函數，則將題目轉化成ax-1≥0在[1，+∞）上恒成立，
（2）對參數m討論，利用g（x）的單調性求解．

解答 解：（1）由題意知，f（x）=e^ax是“1次比增函數”，
則y=$\frac{{e}^{ax}}{x}$在[1，+∞]上為增函數，
故（$\frac{{e}^{ax}}{x}$）′=$\frac{{e}^{ax}（ax-1）}{{x}^{2}}$≥0在[1，+∞]上恒成立，
又由e^ax＞0，x²＞0，
則ax-1≥0即a≥$\frac{1}{x}$在[1，+∞]上恒成立，
又由（$\frac{1}{x}$）_max=1，則a≥1；
于是實數a的取值范圍是[1，+∞）
（2）當時，函數g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{{e}^{\frac{x}{2}}}{x}$（x≠0），
則g′（x）=$\frac{{e}^{\frac{x}{2}}•（\frac{x}{2}-1）}{{x}^{2}}$，
當$\frac{x}{2}$-1＞0，即x＞2時，g′（x）＞0，當$\frac{x-1}{2}$＜0，即x＜0或0＜x＜2時，g′（x）＜0，
則g（x）的增區(qū)間是（2，+∞），減區(qū)間是（-∞，0），（0，2），
由于m＞0，則m+1＞1，
①當m+1≤2，即0＜m≤1時，g（x）在[m，m+1]（m＞0）上單調遞減，
則g（x）_min=g（m+1）=$\frac{{e}^{\frac{m+1}{2}}}{m+1}$；
②當m＜2＜m+1，即1＜m＜2時，g（x）在[m，2）上單調遞減，在（2，m+1]上單調遞增，
則g（x）_min=g（2）=$\frac{e}{2}$；
③當m≥2時，g（x）在[m，m+1]上單調遞增，
則g（x）_min=g（m）=$\frac{{e}^{\frac{m}{2}}}{m}$；
綜上，①當0＜m≤1時，g（x）_min=g（m+1）=$\frac{{e}^{\frac{m+1}{2}}}{m+1}$；
②當1＜m＜2時，g（x）_min=g（2）=$\frac{e}{2}$；
③當m≥2時，g（x）_min=$\frac{{e}^{\frac{m}{2}}}{m}$

點評 本題對學生的程度要求比較高，有一定的難度，主要考查利用函數單調性求函數的最值，及不等式的等價轉化思想．