Question

4．函數f（x）=$\frac{1}{3}a{x^3}+\frac{1}{2}a{x^2}$-2ax+2a+1圖象經過四個象限的必要而不充分條件是（　　）

• A． -$\frac{4}{3}$＜x＜-$\frac{1}{3}$
• B． -2＜a＜0
• C． -$\frac{6}{5}$＜a＜-$\frac{3}{16}$
• D． -1＜a＜-$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由f（x），求導，f′（x）=ax²+ax-2a=a（x-1）（x+2），由題意可知：f（-2）＜0，且f（1）＞0，即可求得a的取值范圍，根據a的取值范圍，根據集合的關系，即可求得函數f（x）圖象經過四個象限的必要而不充分條件為-2＜a＜0．

解答 解：由f（x）=$\frac{1}{3}a{x^3}+\frac{1}{2}a{x^2}$-2ax+2a+1，求導f′（x）=ax²+ax-2a=a（x-1）（x+2）．
若a＜0，令f′（x）＜0，解得：x＜-2或x＞1，
令f′（x）＞0，解得：-2＜x＜1，
由題意可知：f（-2）＜0，且f（1）＞0，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}a（-2）^{3}+\frac{1}{2}a（-2）^{2}-2a（-2）+2a+1＜0}\\{\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}a-2a+2a+1＞0}\end{array}\right.$，
解得：-$\frac{6}{5}$＜a＜-$\frac{3}{16}$，
若a≥0，則無解，
∴數f（x）=$\frac{1}{3}a{x^3}+\frac{1}{2}a{x^2}$-2ax+2a+1圖象經過四個象限的充要條件為{a丨-$\frac{6}{5}$＜a＜-$\frac{3}{16}$}，
由題意可知：函數f（x）圖象經過四個象限的必要而不充分條件為：-2＜a＜0．
故選：B．

點評 本題考查函數與導數的應用，利用導數判斷函數的單調性，考查充分條件及必要條件之間的關系，考查計算能力，屬于中檔題．