Question

已知點A是拋物線y²=4x上的動點，l₁是過點A的拋物線的一條切線，設A（x₁，y₁），求證：l₁的方程為y₁y=2（x+x₁）

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設過點A的切線方程是y-y₁=k（x-x₁），代入y²=4x得ky²-4y+4y₁-4kx₁=0，由相切利用△=0化簡，再把點A帶拋物線方程得：x₁=

y12

4

，代入再化簡求出k，代入切線方程化簡可得過點A的切線方程．

解答： 證明：設過點A的切線方程是y-y₁=k（x-x₁），且k≠0
代入y²=4x得ky²-4y+4y₁-4kx₁=0，
∵l₁是過點A的拋物線的一條切線，
∴△=0，即16=16k（y₁-kx₁），則1=ky₁-k²x₁，①
因為A（x₁，y₁）在拋物線y²=4x上，所以y12=4x₁，即x₁=

y12

4

，
代入①得，1=ky₁-

k2y12

4

，即(ky1)2-4ky1+4=0，
解得ky₁=2，所以k=

2

y1

，代入y-y₁=k（x-x₁），
化簡得y₁y-y12=2（x-x₁）則y₁y-4x₁=2（x-x₁），即y₁y=2（x+x₁），
∴過點A的切線方程是y₁y=2（x+x₁）．

點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，切線方程的求法，注意點的位置關系的應用，屬于中檔題．