Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC．

（1）證明：D₁C∥平面A₁BD；
（2）證明：AC⊥平面BB₁D₁D．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由已知幾何體為長方體，A₁D₁∥BC，A₁D₁=BC，得到D₁C∥A₁B，利用線面平行的判定定理可證；
（2）在矩形ABCD中，AB=BC，得到AC⊥BD，再由AC⊥BB₁，利用線面垂直的判定定理可證．

解答： 證明：（1）由已知幾何體為長方體，A₁D₁∥BC，A₁D₁=BC，∴D₁C∥A₁B，
A₁B?平面A₁BD，D₁C?平面A₁BD，
∴D₁C∥平面A₁BD；
  （2）在矩形ABCD中，AB=BC，∴AC⊥BD （7分）
在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥BB₁（9分）
BB₁∩BD=B，BB₁?平面BB₁D₁D，BD?平面BB₁D₁D，
∴AC⊥平面BB₁D₁D．    （10分）

點評：本題考查了線面平行和線面垂直的判定，關鍵是正確運用長方體的性質以及判定定理．