Question

設正三棱柱的底邊長為2，高為1，則該正三棱柱的外接球的表面積是

 

．

Answer 1

考點：球的體積和表面積

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：根據三棱柱的底面邊長及高，先得出棱柱底面外接圓的半徑及球心距，進而求出三棱柱外接球的球半徑，
代入球的表面積公式即可得到棱柱的外接球的表面積

解答： 解：由正三棱柱的底面邊長為2，
得底面所在平面截其外接球所成的圓O的半徑r=

2 3

3

，
又由正三棱柱的高為1，則球心到圓O的球心距d=

1

2

，
根據球心距，截面圓半徑，球半徑構成直角三角形，
滿足勾股定理，我們易得球半徑R滿足：
R²=r²+d²=

19

12

，
∴外接球的表面積S=4πR²=4π×

19

12

=

19

3

π．
故答案為：

19

3

π．

點評：本題考查的是棱柱的幾何特征及球的體積和表面積，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，其中根據已知求出三棱柱的外接球半徑是解答本題的關鍵．