Question

20．定義在實數集上的函數f（x）=x²+ax（a為常數），g（x）=$\frac{1}{3}$x³-bx+m（b為常數），若函數f（x）在x=1處的切線斜率為3，x=$\sqrt{2}$是g（x）的一個極值點
（1）求a，b的值；
（2）若存在x∈[-4，4]使得f（x）≥g（x）成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分別求出f（x），g（x）的導數，根據f′（1）=0，g′（$\sqrt{2}$）=0，分別求出a，b的值即可；
（2）令h（x）=g（x）-f（x），要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）_max≤0，轉化為求最值問題．

解答 解：（1）函數f（x）=x²+ax，f′（x）=2x+a，
若函數f（x）在x=1處的切線斜率為3，
則f′（1）=2+a=3，解得：a=1，
g（x）=$\frac{1}{3}$x³-bx+m，g′（x）=x²-b，
若x=$\sqrt{2}$是g（x）的一個極值點，
則g′（$\sqrt{2}$）=2-b=0，解得：b=2；
（2）由（1）得：f（x）=x²+x，g（x）=$\frac{1}{3}$x³-2x+m，
令h（x）=g（x）-f（x）=$\frac{1}{3}$x³-2x+m-x^2_-x=$\frac{1}{3}$x³-3x+m-x²
∴h′（x）=x²-2x-3，
當-4＜x＜-1時，h′（x）＞0，
當-1＜x＜3時，h′（x）＜0，
當3＜x＜4時，h′（x）＞0，
要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）_max≤0，
由上知h（x）的最大值在x=-1或x=4取得，
而h（-1）=m+$\frac{5}{3}$，h（4）=m-$\frac{20}{3}$，
∵m+$\frac{5}{3}$＞m-$\frac{20}{3}$，
∴m+$\frac{5}{3}$≤0，
即m≤-$\frac{5}{3}$．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，在求參數的取值范圍中，轉化為求函數的最大值或最小值問題．