Question

19．給出定義：若m-$\frac{1}{2}$＜x≤m+$\frac{1}{2}$（其中m為整數），則m叫做離實數x最近的整數，記作{x}，即{x}=m．在此基礎上給出下列關于函數f（x）=x-{x}的三個判斷：
①y=f（x）的定義域是R，值域是（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]；  
②點（k，0）是y=f（x）的圖象的對稱中心，其中k∈Z；
③函數y=f（x）在（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]上是增函數．
則上述判斷中所有正確的序號是（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 依據函數定義，得到f（x）=x-{x}∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，再對三個命題逐個驗證后，即可得到正確結論．

解答 解：在①中，由題意知，{x}-$\frac{1}{2}$＜x≤{x}+$\frac{1}{2}$，
則得到f（x）=x-{x}∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，則命題①為真命題；
在②中，由于k∈Z時，f（k）=k-{k}=k-k=0，
但由于f（x）∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，故函數不是中心對稱圖形，故命題②為假命題；
在③中，由于{x}-$\frac{1}{2}$＜x≤{x}+$\frac{1}{2}$，則得到f（x）=x-{x}為分段函數，
且在（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]上為增函數，故命題③為真命題．
故答案為 ①③．
故選：B．

點評 本題考查命題真假的判斷，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用．