Question

20．已知函數f（x）=|x²-1|+（k+4）x，g（x）=x²-4x．
（1）若函數f（x）的圖象過點（1，0），求k的值；
（2）若函數y=g（x）（x∈[t，4]）的值域為區間D，是否存在常數t，使區間D的長度為7-2t，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由（區間[p，q]的長度為q-p）；
（3）若關于x的方程f（x）+g（x）=0在（0，2）上有兩個不同的x₁，x₂解，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用函數經過的點求出k即可．
（2）化簡g（x）=（x-2）²-4，x∈[t，4]．通過①當2≤t＜4時，②當0≤t＜2時，③當t＜0時，轉化求解t的范圍．
（3）當0＜x≤1時，方程h（x）=0轉化求解，當1＜x＜2時，方程h（x）=0化為2x²+kx-1=0，求解k的范圍即可．

解答 解：（1）∵f（1）=0，即k+4=0，∴k=-4．…（3分）
（2）∵g（x）=x²-4x=（x-2）²-4，x∈[t，4]．…（4分）
①當2≤t＜4時，g（t）≤g（x）≤g（4）⇒g（x）∈[t²-4t，0]，
∴0-（t²-4t）=7-2t，解之得$t=3±\sqrt{2}∉[2，4）$，∴t∈ϕ．…（5分）
②當0≤t＜2時，g（2）≤g（x）≤g（4）⇒g（x）∈[-4，0]，
即7-2t=4，解之得$t=\frac{3}{2}∈（0，2）$，∴$t=\frac{3}{2}$．…（6分）
③當t＜0時，g（2）≤g（x）≤g（t）⇒g（x）∈[-4，t²-4t]，
即t²-4t+4=7-2t，解之得t=-1或t=3∉（-∞，0），∴t=-1；
綜上所述，$t=\frac{3}{2}$或t=-1．…（8分）
（3）當0＜x≤1時，方程h（x）=0化為kx+1=0，k=0時，無解，k≠0時，$x=-\frac{1}{k}$；…（9分）
∴$0＜-\frac{1}{k}≤1$，∴k≤-1．
當1＜x＜2時，方程h（x）=0化為2x²+kx-1=0，$x=\frac{{-k±\sqrt{{k^2}+8}}}{4}$，
而$\frac{{-k-\sqrt{{k^2}+8}}}{4}＜\frac{-k-|k|}{4}≤0$，故f（x）=0在區間（1，2）內至多有一解：$x=\frac{{-k+\sqrt{{k^2}+8}}}{4}$，
∴$1＜\frac{{-k+\sqrt{{k^2}+8}}}{4}＜2$，∴$-\frac{7}{2}＜k＜-1$．…（12分）
綜合所述，$-\frac{7}{2}＜k＜-1$．…（12分）

點評 本題考查函數與方程的綜合應用，考查分類討論思想的應用，考查計算能力．