Question

2．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，且PA=CD=AD=$\frac{1}{2}$AB，M為PB的中點．
（1）證明：平面PAD⊥平面PCD；
（2）求二面角A-MC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知中PA⊥底面ABCD，CD⊥AD，我們由三垂線定理，得CD⊥PD，結合線面垂直判定定理，可以得到CD⊥平面PAD，進而由面面垂直的判定定理，可以得到面PAD⊥面PCD；
（2）在MC上取一點N（x，y，z），要使AN⊥MC，只需$\overrightarrow{AN}$•$\overrightarrow{MC}$=0，求得N的坐標，即有AN⊥MC，BN⊥MC，進而得到∠ANB為所求二面角A-MC-B的平面角，運用向量夾角公式可得二面角的余弦值．

解答 （1）證明：∵PA⊥底面ABCD，CD⊥AD，
∴由三垂線定理，得CD⊥PD，
∵CD⊥AD，CD⊥PD，且PD∩AD=D，
∴CD⊥平面PAD，
∵CD?平面PCD，
∴面PAD⊥面PCD．
（2）解：設AB=2，PA=CD=AD=1，
以A為坐標原點，AD長為單位長度，如圖建立空間直角坐標系，
則各點坐標為A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），M（0，1，$\frac{1}{2}$）．
在MC上取一點N（x，y，z），則存在使$\overrightarrow{NC}$=λ$\overrightarrow{MC}$，
$\overrightarrow{NC}$=（1-x，1-y，-z），$\overrightarrow{MC}$=（1，0，-$\frac{1}{2}$），
∴x=1-λ，y=1，z=$\frac{1}{2}$λ．
要使AN⊥MC，只需$\overrightarrow{AN}$•$\overrightarrow{MC}$=0即x-$\frac{1}{2}$z=0，解得λ=$\frac{4}{5}$．
可知當λ=$\frac{4}{5}$時，N點坐標為（$\frac{1}{5}$，1，$\frac{2}{5}$），能使$\overrightarrow{AN}$•$\overrightarrow{MC}$=0．
此時，$\overrightarrow{AN}$=（$\frac{1}{5}$，1，$\frac{2}{5}$），$\overrightarrow{BN}$=（$\frac{1}{5}$，-1，$\frac{2}{5}$），
有$\overrightarrow{BN}$•$\overrightarrow{MC}$=0，
由$\overrightarrow{AN}$•$\overrightarrow{MC}$=0，$\overrightarrow{BN}$•$\overrightarrow{MC}$=0，得AN⊥MC，BN⊥MC．
所以∠ANB為所求二面角A-MC-B的平面角．
|$\overrightarrow{AN}$|=|$\overrightarrow{BN}$|=$\frac{\sqrt{30}}{5}$，$\overrightarrow{AN}$•$\overrightarrow{BN}$=-$\frac{4}{5}$，
∴cos＜$\overrightarrow{AN，}$$\overrightarrow{BN}$＞=$\frac{\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{BN}}{|\overrightarrow{AN}|•|\overrightarrow{BN}|}$=$\frac{-\frac{4}{5}}{\frac{30}{25}}$=-$\frac{2}{3}$，
故所求的二面角的余弦值為-$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查空間中的線面垂直和面面垂直的判定定理、二面角、向量等基礎知識，考查空間想象能力和思維能力，屬于中檔題．