Question

已知定義在（-1，1）上的函數(shù)f （x），其導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=l+cosx，且f（0）=0，如果f（1-x）+f（l-x²）＜0，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為（　　）

• A、（0，1）
• B、（1，

  2

  ）
• C、(-2，-

  2

  )
• D、（1，

  2

  ）∪（-

  2

  ，-1）

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由導(dǎo)數(shù)判斷f（x）在（-1，1）遞增，再由f（x）=x+sinx+c，由于f（0）=0，則c=0，則f（x）為奇函數(shù)，即有f（-x）=-f（x），不等式即為

-1＜1-x＜1 -1＜x2-1＜1 1-x＜x2-1

，解出即可得到所求范圍．

解答： 解：f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=l+cosx，
則f′（x）＞0在（-1，1）恒成立，即有f（x）在（-1，1）遞增，
可設(shè)f（x）=x+sinx+c，由于f（0）=0，則c=0，
則f（x）為奇函數(shù)，即有f（-x）=-f（x），
f（1-x）+f（l-x²）＜0即為f（1-x）＜-f（l-x²）=f（x²-1），
即

-1＜1-x＜1 -1＜x2-1＜1 1-x＜x2-1

，即有

0＜x＜2 - 2 ＜x＜ 2 且x≠0 x＞1或x＜-2

，
解得，1＜x＜

2

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判斷和運(yùn)用：解不等式，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：判斷單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．