Question

已知：函數f（x）=sinx-cos²x+a．
（1）求函數f（x）的最值；
（2）當a為何值時，方程f（x）=0在區間[0，2π）有兩解？
（3）求函數f（x）在區間[0，2π]上的單調遞增區間．

Answer 1

考點：三角函數的最值,正弦函數的單調性

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）首先，化簡函數解析式得到f（x）═(sinx+

1

2

)2-

5

4

+a，然后，結合sinx∈[-1，1]進行求解；
（2）換元法，得到t²+t+a-1=0在區間（-1，1）上有一解令g（t）=t²+t+a-1，從而有

g(1)＞0 g(-1)＜0

或△=0，然后，求解即可；
（3）結合三角函數的單調性求解單調區間即可．

解答： 解（1）由f（x）=sinx-cos²x+a=sinx-（1-sin²x）+a=(sinx+

1

2

)2-

5

4

+a，
∵sinx∈[-1，1]，
所以當sinx=1時f（x）_max=1+a，
當sinx=-

1

2

時f(x)min=a-

5

4

∴函數f（x）的最大值為a+1，最小值為a-

5

4

．
（2）由f（x）=0，
∴sinx-cos²x+a=0，
∴sinx-（1-sin²x）+a=0，
令t=sinx，∵x∈[0，2π），
∴t∈[-1，1]，
要使方程f（x）=0在區間[0，2π）有兩解，
有t²+t+a-1=0在區間（-1，1）上有一解令g（t）=t²+t+a-1，
∴

g(1)＞0 g(-1)＜0

或△=0，
∴a∈（-1，1）或a=

5

4

∴a的取值范圍是(-1，1)∪{

5

4

}．
（3）由f（x）=sinx-cos²x+a
=sinx-（1-sin²x）+a
=(sinx+

1

2

)2-

5

4

+a，
令t=sinx，
∵x∈[0，2π]，
∴t∈[-1，1]，
∴y=(t+

1

2

)2-

5

4

+a在[-1，-

1

2

]上單調遞減，在[-

1

2

，1]上單調遞增
當t∈[-1，-

1

2

]時，
x∈[

7π

6

，

11π

6

]，
而t=sinx在[

7π

6

，

3π

2

]上單調遞減，在[

3π

2

，

11π

6

]上單調遞增，
所以當x∈[

7π

6

，

3π

2

]時f（x）單調遞增，
當t∈[-

1

2

，1]時，
x∈[0，

7π

6

]∪[

11π

6

，2π] 而t=sinx在x∈[0，

π

2

]，x∈[

11π

6

，2π]時單調遞增，
∴f（x）在[0，

π

2

]，[

11π

6

，2π]上單調遞增．
綜上函數f（x）在區間[0，2π]上的單調遞增區間為[0，

π

2

]，[

7π

6

，

3π

2

]，[

11π

6

，2π]．

點評：本題重點考查了三角函數的圖象與性質、三角恒等變換等知識，屬于中檔題．