Question

1．函數$f（x）=\frac{b}{|x|+a}（a＜0，b＞0）$的圖象形如漢字“囧”，故稱其為“囧函數”．
下列命題正確的是③⑤．
①“囧函數”的值域為R；             
②“囧函數”在（0，+∞）上單調遞增；
③“囧函數”的圖象關于y軸對稱；      
④“囧函數”有兩個零點；
⑤“囧函數”的圖象與直線y=kx+m（k≠0）至少有一個交點．

Answer 1

分析 先判斷函數為偶函數，再令a=-1，b=1，得到特殊的函數，利用特殊值法，研究函數的值域，單調性，和零點問題，利用數形結合的方法進行判斷

解答 解：由題意函數$f（x）=\frac{b}{|x|+a}（a＜0，b＞0）$，f（-x）=f（x），是偶函數；
當a=-1，b=1，時
則f（x）=$\frac{1}{|x|-1}$，其函數的圖象如圖：
如圖y≠0，值域肯定不為R，故①錯誤；
如圖顯然f（x）在（0，+∞）上不是單調函數，故②錯誤；
f（x）是偶函數，關于y軸對稱，故③正確；
如圖f（x）≠0，沒有零點，故④錯誤；
如圖可知函數f（x）的圖象，x=1換為x=a，在四個象限都有圖象，
此時與直線y=kx+b（k≠0）的圖象至少有一個交點．故⑤正確；
故答案為：③⑤；

點評 此題考查“囧函數”的新定義，關鍵要讀懂題意，只要畫出其圖象就很容易求解了，解題過程中用到了數形結合的方法．利用特殊值解答問題是數學常用方法．