Question

4．當實數x，y滿足x²+y²=1時，|x+2y+a|+|3-x-2y|的取值與x，y均無關，則實數a的取范圍是[$\sqrt{5}$，+∞）．

Answer 1

分析 根據實數x，y滿足x²+y²=1，設x=cosθ，y=sinθ，求出x+2y的取值范圍，再討論a的取值范圍，求出|x+2y+a|+|3-x-2y|的值與x，y均無關時a的取范圍．

解答 解：∵實數x，y滿足x²+y²=1，
可設x=cosθ，y=sinθ，
則x+2y=cosθ+2sinθ=$\sqrt{5}$sin（θ+α），其中α=arctan2；
∴-$\sqrt{5}$≤x+2y≤$\sqrt{5}$，
∴當a≥$\sqrt{5}$時，
|x+2y+a|+|3-x-2y|=（x+2y+a）+（3-x-2y）=a+3，其值與x，y均無關；
∴實數a的取范圍是[$\sqrt{5}$，+∞）．
故答案為：$[{\sqrt{5}}\right.，+∞）$．

點評 本題考查了圓的方程以及絕對值的定義與應用問題，也考查了轉化思想的應用問題，是綜合性題目．