Question

17．設a，b均為正數，且a+b=1，
（Ⅰ）求證：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$≥4；
（Ⅱ）求證：$\frac{1}{{a}^{2016}}$+$\frac{1}{{b}^{2016}}$≥2²⁰¹⁷．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用“乘1法”和基本不等式的性質即可得出．
（Ⅱ）根據基本不等式進行證明即可．

解答 （Ⅰ）證明：∵a，b為兩個的正數，且a+b=1，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）=2+$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥2+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$=4，當且僅當a=b=$\frac{1}{2}$時取等號．
而a≠b，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$≥4；
（Ⅱ）證明：∵a，b為兩個的正數，a+b=1，
∴$\frac{1}{{a}^{2016}}$+$\frac{1}{{b}^{2016}}$≥2$\sqrt{\frac{1}{{a}^{2016}}•\frac{1}{{b}^{2016}}}$=2×（$\frac{1}{ab}$）¹⁰⁰⁸=2×4¹⁰⁰⁸=2²⁰¹⁷，當且僅當a=b=$\frac{1}{2}$時取等號．
∴$\frac{1}{{a}^{2016}}$+$\frac{1}{{b}^{2016}}$≥2²⁰¹⁷．

點評 本題考查了“乘1法”和基本不等式的性質，正確理解“一正二定三相等”的使用法則是解題的關鍵，屬于基礎題．