Question

7．已知拋物線y²=-x與直線l：y=k（x+1）相交于A，B兩點，
（Ⅰ）求k的取值范圍；
（Ⅱ）O為拋物線頂點，求證：OA⊥OB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）聯立求直線與拋物線方程：$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=-x}\\{y=k（{x+1}）}\end{array}}\right.$，消去y，可得k²x²+（2k²+1）x+k²=0，利用$\left\{{\begin{array}{l}{{k^2}≠0}\\{△={{（{2{k^2}+1}）}^2}-4{k^2}•{k^2}＞0}\end{array}}\right.$，即可求得k的取值范圍；
（Ⅱ）由$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=-x}\\{y=k（{x+1}）}\end{array}}\right.$，得ky²+y-k=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達定理y₁•y₂=-1，k_OA•k_OB=-1即可證得OA⊥OB．

解答 解：（Ⅰ）聯立直線與拋物線方程：$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=-x}\\{y=k（{x+1}）}\end{array}}\right.$，消去y，整理得k²x²+（2k²+1）x+k²=0，
∵拋物線和直線相交于兩點，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{k^2}≠0}\\{△={{（{2{k^2}+1}）}^2}-4{k^2}•{k^2}＞0}\end{array}}\right.$，不等式組恒成立，即解得k∈R且k≠0．
（Ⅱ）證明：聯立直線與拋物線方程：$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=-x}\\{y=k（{x+1}）}\end{array}}\right.$，消去y，整理得ky²+y-k=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達定理y₁•y₂=-1，
∵點A，B在拋物線y²=-x上，
∴$y_1^2=-{x_1}$，$y_2^2=-{x_2}$，${x_1}•{x_2}=y_1^2•y_2^2$，
∵k_OA•k_OB=$\frac{y_1}{x_1}•\frac{y_2}{x_2}$=$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}$=$\frac{1}{{{y_1}{y_2}}}$=-1，
所以OA⊥OB．

點評 本題考查拋物線的簡單性質，考查方程思想與運算求解能力，屬于中檔題．