Question

16．長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁相鄰的三個面的對角線長分別是1，2，3，則該長方外接球的面積是（　　）

• A． 7π
• B． 14π
• C． 28π
• D． 36π

Answer 1

分析 設出長方體的同一頂點的三條棱為a，b，c，利用對角線AC₁在各個面上的投影分別是長為1，2，3的線段，求出長方體的對角線長，就是球的直徑，即可求出球的表面積．

解答 解：設長方體的同一頂點的三條棱為a，b，c，對角線AC₁在各面上的投影為面對角線長，
故a²+b²+c²=$\frac{{1}^{2}+{2}^{2}+{3}^{2}}{2}$=7，R=$\frac{A{C}_{1}}{2}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
故球的表面積：S=4πR²=7π．
故選：A．

點評 本題是基礎題，考查長方體的外接球的表面積，考查空間想象能力，長方體的對角線長就是外接球的直徑，是解決本題的關鍵．