Question

2．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，E是PC的中點．
（1）求證：平面EBD⊥平面ABCD；
（2）求二面角E-BC-A的大小．

Answer 1

分析 （1）設AC∩BD=O，推導出OE∥PA，由此能證明平面EBD⊥平面ABCD．
（2）取線段BC的中點F，連接OF，EF，推導出∠EFO是二面角E-BC-A的平面角，由此能求出二面角E-BC-A的大小．

解答 證明：（1）設AC∩BD=O，
∵底面ABCD是正方形，∴O是AC中點，
∵E，O分別為線段PC，AC的中點
∴OE∥PA，
∵PA⊥平面ABCD∴OE⊥平面ABCD
∵OE?平面BDEPABCDE
∴平面EBD⊥平面ABCD…（6分）
解：（2）取線段BC的中點F，連接OF，EF
∵ABCD是正方形，F是線段BC的中點O
∴OF⊥平面BCF，
∵OE⊥平面ABCD，
∴OE⊥BC，∴BC⊥平面OEF
∴EF⊥BC，∴∠EFO是二面角E-BC-A的平面角，…（9分）
在直角三角形OEF中，OE=OF，
∴∠EFO=45°，即二面角E-BC-A的大小為45°．…（12分）

點評 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．