Question

12．數列{a_n}滿足a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=4ⁿ．
（1）求通項a_n；
（2）求數列{a_n}的前n項和 S_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=4ⁿ，下推一項后，兩式相減即可求得其通項a_n；
（2）n≥2時，利用等比數列的求和公式可求得S_n=4+3×2¹+3×2²+…+3×2^n-1=4+3（2ⁿ-2），再驗證n=1是否適合，即可求得數列{a_n}的前n項和 S_n．

解答 解：（1）a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=4ⁿ，①
∴a₁+2a₂+2²a₃+…+2ⁿa_n+1=4ⁿ⁺¹，②
②-①得2ⁿ a_n+1=3×4ⁿ，
∴a_n+1=3×2ⁿ，
又n=1時a₁=4，∴綜上a_n=$\left\{\begin{array}{l}4，（n=1）\\ 3×{2^{n-1}}，（n≥2）\end{array}\right.$為所求；…（8分）
（2）n≥2時，
S_n=4+3×2¹+3×2²+…+3×2^n-1=4+3•$\frac{2（1{-2}^{n-1}）}{1-2}$=4+3（2ⁿ-2），
又n=1時S₁=4也成立，
∴S_n=3×2ⁿ-2…（12分）

點評 本題主要考查數列的基礎知識，考查分類討論的數學思想，考查考生綜合應用所學知識創造性解決問題的能力．