Question

1．已知函數f（x）=2x³-3x²-f′（0）x+c（c∈R），其中f（0）為函數f（x）在x=0處的導數．
（1）求函數f（x）的遞減區間；
（2）若函數f（x）的極大值和極小值互為相反數，求函數f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=6x²-6x-f′（0），令x=0得f′（0）=0，令f′（x）＜0，解得x范圍可得函數f（x）的遞減區間．
（2）由（1）可得：函數f（x）在（-∞，0）上遞增，在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，可得f（x）_極小值=f（1），f（x）_極大值=f（0），列出方程即可得出．

解答 解：（1）f′（x）=6x²-6x-f′（0），
令x=0得f′（0）=0-f′（0）⇒f′（0）=0，
∴f′（x）=6x²-6x，
令f′（x）＜0，解得0＜x＜1，
∴函數f（x）的遞減區間為（0，1）．
（2）由（1）可得：函數f（x）在（-∞，0）上遞增，在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，
∴f（x）_極小值=f（1）=2-3+c，f（x）_極大值=f（0）=c，
∴2-3+c+c=0，
解得$c=\frac{1}{2}$．
∴f（x）=2x³-3x²+$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．