Question

9．已知函數f（x）=x²-ax-aln（x-1）（a∈R）．
（1）當a=1時，求函數f（x）的單調區間；
（2）當a∈R時，求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析 （1）首先求出函數的定義域，把a=1代入函數解析式后，求出函數的導函數，由導函數等于0求出函數的極值點，結合定義域可得函數在定義域內取得最值的情況，從而求出函數的最值．
（2）把原函數求導后，對參數a進行分類，根據a的不同取值得到導函數在不同區間內的符號，從而得到原函數的單調區間．

解答 解：（1）函數f（x）=x²-ax-aln（x-1）（a∈R）的定義域是（1，+∞）
當a=1時，f（x）=x²-x-ln（x-1），
f′（x）=2x-1-$\frac{1}{x-1}$=$\frac{2x（x-\frac{3}{2}）}{x-1}$，
當x∈（1，$\frac{3}{2}$）時，f′（x）＜0，
所以f （x）在（1，$\frac{3}{2}$）為減函數．
當x∈（$\frac{3}{2}$，+∞）時，f′（x）＞0，
所以f （x）在（$\frac{3}{2}$，+∞）為增函數，
則當x=$\frac{3}{2}$時，f（x）有極小值，也就是最小值．
所以函數f （x）的最小值為f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{3}{4}$+ln2；
（2）f′（x）=2x-a-$\frac{a}{x-1}$=$\frac{2x（x-\frac{a+2}{2}）}{x-1}$，
若a≤0時，則 $\frac{a+2}{2}$≤1，f′（x）＞0在（1，+∞）恒成立，
所以f（x）的增區間為（1，+∞）．
若a＞0，則 $\frac{a+2}{2}$＞1，故當x∈（1，$\frac{a+2}{2}$]，f′（x）≤0，
當x∈[$\frac{a+2}{2}$，+∞）時，f′（x）≥0，
所以a＞0時f（x）的減區間為（1，$\frac{a+2}{2}$]，f（x）的增區間為[$\frac{a+2}{2}$，+∞）．

點評 本題考查了利用導數研究函數的最值，求函數在閉區間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數在（a，b）內所有極值與端點函數f（a），f（b） 比較而得到的．考查了利用導數研究函數的單調性，函數的導函數在（a，b）內恒大于等于0，原函數在該區間內單調遞增，函數的導函數在（a，b）內恒小于等于0，原函數在該區間內單調遞減，此題是中檔題．