Question

14．已知函數f（x）=2sin（π-x）cosx+cos2x．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）若x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）化簡函數f（x），求出它的最小正周期；
（2）由$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$求出2x+$\frac{π}{4}$的取值范圍，利用正弦函數的圖象與性質即可求出f（x）的最值．

解答 解：（1）f（x）=2sin（π-x）cosx+cos2x
=2sinxcosx+cos2x
=sin2x+cos2x
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴函數f（x）的最小正周期為
$T=\frac{2π}{2}=π$；
（2）由$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$得$\frac{3π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，
又正弦函數y=sinx在$[\frac{3π}{4}，\frac{5π}{4}]$是減函數，
所以當$2x+\frac{π}{4}=\frac{3π}{4}$時f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）值最大，最大值為1；
當$2x+\frac{π}{4}=\frac{5π}{4}$時f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）值最小，最小值為-1．

點評 本題考查了三角函數的化簡與三角函數的圖象和性質的應用問題，是基礎題目．