Question

10．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且對任意正整數n，都有a_n=$\frac{3}{4}{S_n}$+2成立．
（1）記b_n=log₂a_n，求數列{b_n}的通項公式；
（2）設c_n=$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據數列的遞推公式即可求出數列{a_n}為等比數列，根據對數的運算性質可得b_n=2n+1，
（2）根據裂項求和即可得到答案．

解答 解：（1）在${a_n}=\frac{3}{4}{S_n}+2$中令n=1得a₁=8，
因為對任意正整數n，都有${a_n}=\frac{3}{4}{S_n}+2$成立，所以${a_{n+1}}=\frac{3}{4}{S_{n+1}}+2$，
兩式相減得a_n+1-a_n=$\frac{3}{4}$a_n+1，
所以a_n+1=4a_n，
又a₁≠0，
所以數列{a_n}為等比數列，
所以a_n=8•4^n-1=2²ⁿ⁺¹，
所以b_n=log₂a_n=2n+1，
（2）c_n=$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）
所以${T_n}=\frac{1}{2}[{（{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}）+（{\frac{1}{5}-\frac{1}{7}}）+…+（{\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}}）}]=\frac{1}{2}（{\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}}）=\frac{n}{{3（{2n+3}）}}$

點評 本題考查了根據數列的遞推公式求通項公式和裂項求和，屬于中檔題．