Question

1．已知函數$f（x）=\sqrt{2}{sin^2}x-\sqrt{2}sinx•cosx-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求函數y=f（x）的解析式，并用“五點法作圖”在給出的直角坐標系中畫出函數y=f（x）在區間[0，π]上的圖象；
（2）設α∈（0，π），f（$\frac{α}{2}$）=$-\frac{1}{2}$，求sinα的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數恒等變換的應用化簡可得函數解析式，根據五點法，求出對應的五點，即可得到結論．
（2）法一：由已知可求$sin（α+\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}，cos（α+\frac{π}{4}）=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，利用兩角差的正弦函數公式可求sinα的值；法二：由已知可得$sinα+cosα=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，進而可求$sinα-cosα=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，聯立即可得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵$f（x）=\sqrt{2}•\frac{1-cos2x}{2}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin2x-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$=$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin2x-\frac{{\sqrt{2}}}{2}cos2x=-sin（2x+\frac{π}{4}）$，…（2分）
由$y=sin（2x+\frac{π}{4}）$知：

x	0	$\frac{π}{8}$	$\frac{3π}{8}$	x1，y1	$\frac{7π}{8}$	π
$2x+\frac{π}{4}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π	$\frac{9π}{4}$
$y=sin（2x+\frac{π}{4}）$	$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$	-1	0	1	0	$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

故函數y=f（x）在區間[0，π]上圖象是
                       …（6分）
（2）法一：∵$f（\frac{α}{2}）=-sin（α+\frac{π}{4}）=-\frac{1}{2}$，
∴$sin（α+\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}，cos（α+\frac{π}{4}）=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，…（8分）
$sinα=sin（α+\frac{π}{4}-\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}?\frac{{\sqrt{3}}}{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{{\sqrt{2}?\sqrt{6}}}{2}$，…（11分）
∵α∈（0，π），
∴sinα＞0，
∴$sina=\frac{{\sqrt{2}+\sqrt{6}}}{4}$．…（12分）
法二：∵$f（\frac{α}{2}）=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}sinα-\frac{{\sqrt{2}}}{2}cosβ=-\frac{1}{2}$，$sinα+cosα=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，①
∴$1+2sinαcosα=\frac{1}{2}$，
∴$2sinαcosα=-\frac{1}{2}＜0$，…（8分）
∴${（sinα-cosα）^2}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，
又∵α∈（0，π），
∴sinα＞0，
∴cos＜0，
∴$sinα-cosα=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，②…（11分）
由①②得，∴$sina=\frac{{\sqrt{2}+\sqrt{6}}}{4}$．…（12分）

點評 本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，五點作圖法，兩角差的正弦函數公式的綜合應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．