Question

如圖所示的多面體中， 是菱形，是矩形，平面，，．

(1)求證：平面平面；

(2)若二面角為直二面角，求直線與平面所成的角的正弦值．

 

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要以多面體為幾何背景，考查線線平行、線線垂直、線面平行、面面平行、二面角、線面角等數學知識，考查學生的空間想象能力、邏輯思維能力、計算能力.第一問，因為BFED為矩形，所以BF//DE，利用線面平行的判定得BF//平面AED，因為ABCD為棱形，所以BC//AD，利用線面平行的判定，得BC//平面ADE，再利用面面平行的判定，得平面FBC//平面EDA；第二問，利用線面垂直的性質，利用平行線、利用棱形、矩形的性質，得，，從而得出是二面角的平面角，且，法一：先利用四邊形ADBG和BDEF，證明A、E、F、G共面，再由證過的垂直關系，證明面AEFG，所以為所求，在中，可求出AN即AC的值，在等腰三角形AMC中，可求出MC，而在直角三角形GMC中可求；法二：連結BM，在中，利用余弦定理，解出，再利用，利用誘導公式求；法三：利用圖中的垂直關系，建立空間直角坐標系，找到平面AEF的法向量坐標，再找到坐標，利用夾角公式先求出與平面AEF的法向量的夾角，再利用誘導公式求.

試題解析：（1）矩形中， 1分

平面，平面,平面， 2分

同理平面, 3分

又平面∥平面 4分

（2）取的中點.

由于面,∥,

又是菱形，是矩形，所以，是全等三角形，

所以，就是二面角的平面角 -8分

解法1（幾何方法）：

延長到，使,由已知可得，是平行四邊形，又矩形，所以是平行四邊形，共面，由上證可知，，,相交于，平面，為所求.

由,,得

等腰直角三角形中，,可得

直角三角形中,

解法2幾何方法）：由，，得平面，欲求直線與平面所成的角，先求與所成的角. 12分

連結，設則在中，，，用余弦定理知 -14分

解法3（向量方法）：以為原點，為軸、為軸

建立如圖的直角坐標系，

由則，

，平面的法向量， -12分

. -14分

考點：1.線面平行的判定；2.面面平行的判定；3.線面角；4.余弦定理；5.誘導公式.