Question

7．有一個不透明的袋子，裝有4個完全相同的小球，球上分別編有數字1，2，3，4．
（Ⅰ）若逐個不放回取球兩次，求第一次取到球的編號為偶數且兩個球的編號之和能被3整除的概率；
（Ⅱ）若先從袋中隨機取一個球，該球的編號為a，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編號為b，求直線ax+by+1=0與圓x²+y²=$\frac{1}{16}$沒有公共點的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）用（a，b）（a表示第一次取到球的編號，b表示第二次取到球的編號）表示先后二次取球構成的基本事件，求出所有的基本事件數，設“第一次取到球的編號為偶數且兩個球的編號之和能被3整除”為事件A，求出A的個數，然后求解概率．
（Ⅱ）列出所有的基本事件，通過“直線與圓${x^2}+{y^2}=\frac{1}{16}$沒有公共的”為事件B，求出事件B包含的基本事件數，然后求解概率．

解答 解：（Ⅰ）用（a，b）（a表示第一次取到球的編號，b表示第二次取到球的編號）表示先后二次取球構成的基本事件，則所有的基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）共12個．…（2分）
設“第一次取到球的編號為偶數且兩個球的編號之和能被3整除”為事件A，
則事件A包含的基本事件有：
（2，1），（2，4），（4，2）共有3個，…（4分）
∴P（A）=$\frac{3}{12}$=$\frac{1}{4}$．…（6分）
（Ⅱ）所有的基本事件有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共16個，…（8分）
設“直線與圓${x^2}+{y^2}=\frac{1}{16}$沒有公共的”為事件B，
由題意$\frac{1}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}＞\frac{1}{4}$，…（9分）
即a²+b²＜16，則事件B包含的基本事件有：
（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2）共8個，…（10分）
∴P（B）=$\frac{8}{16}$=$\frac{1}{2}$．…（12分）

點評 本題考查概率的求法，直線與圓的位置關系的應用，圓的方程的綜合應用，考查計算能力．