Question

（本題滿分18分）設等差數列的前項和為，且，。

（1）求數列的通項公式；

（2）設數列的前項和為，且（其中是非零的實數），若，，成等差數列，問，， 能成等比數列嗎？說明理由；

（3）設數列的通項公式，是否存在正整數、（），使得，，成等比數列？若存在，求出所有、的值；若不存在，說明理由。

 

Answer 1

（1）；（2），， 是等比數列；（3）所有、的值分別為．

【解析】

試題分析：（1）設出數列的首項與公差，整理成關于公差、首項的方程組，進行求解；（2）討論與兩種情況，求和，利用等差中項與等比中項進行證明；（3）利用等比中項得到關系式，利用放縮法進行求不等式.

試題解析：（1）由題意，得，即，解得，則；

（2），

當時，，，不成等差數列，不符題意；

當時，由，，得，

又， ，

所以，， 是等比數列。

（3），，，

解不等式，得，

所以，所有、的值分別為.

考點：1.等差數列；2.等差中項、等比中項；放縮法.