Question

11．已知直線l₁：x=2，l₂：3x+4y-12=0，l₃：x-2y-6=0．
（1）設l₁與l₂的交點為A，l₁與l₃的交點為B，l₂與l₃的交點為C．求A，B，C的坐標；
（2）設$\left\{\begin{array}{l}x≥2\\ 3x+4y-12≤0\\ x-2y-6≤0\end{array}\right.$表示的平面區域為D，點M（x，y）∈D，N（3，1）．
①求|MN|的最小值；
②求$\frac{y}{x}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）聯立方程組求解交點坐標即可．
（2）畫出約束條件的可行域，利用距離公式判斷最優解，求解①；利用直線的斜率求解②即可．

解答 解：（1）直線l₁：x=2，l₂：3x+4y-12=0，l₃：x-2y-6=0．l₁與l₂的交點為A，
即$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{3x+4y-12=0}\end{array}\right.$；解得A（2，$\frac{3}{2}$）
l₁與l₃的交點為B，即：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x-2y-6=0}\end{array}\right.$解得B（2，-2）；
l₂與l₃的交點為C．即$\left\{\begin{array}{l}{3x+4y-12=0}\\{x-2y-6=0}\end{array}\right.$，解得C（$\frac{24}{5}，-\frac{3}{5}$）
$A（2，\frac{3}{2}），B（2，-2），C（\frac{24}{5}，-\frac{3}{5}）$； （3分）
（2）作出可行域如下圖：
…（5分）
①|MN|的最小值為N到直線l₂的距離，
所以$|MN{|}_{min}=\frac{\left|9+4-12\right|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}=\frac{1}{5}$；…（8分）
②$\frac{y}{x}$表示可行域內的點與原點連線的斜率，由圖知最大值為${k}_{OA}=\frac{3}{4}$，最小值為k_OB=-1，
所以$\frac{y}{x}$的范圍為$[-1，\frac{3}{4}]$…（12分）

點評 本題主要考查線性規劃的應用，利用z的幾何意義，通過數形結合是解決本題的關鍵．