Question

3．將函數(shù)y=sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的$\frac{1}{2}$倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)f（x）的圖象
（1）寫(xiě)出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若對(duì)任意的x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{12}$]，f²（x）-mf（x）-1≤0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）求實(shí)數(shù)a和正整數(shù)n，使得F（x）=f（x）-a在[0，nπ]上恰有2017個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得f（x）的解析式．
（2）令t=f（x）∈[0，1]，則g（t）=t²-mt-1≤0恒成立，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得g（0）=-1≤0，且 g（1）=-m≤0，由此解得m的范圍．
（3）由題意可得f（x）的圖象和直線y=a在[0，nπ]上恰有2017個(gè)交點(diǎn)，分類(lèi)討論，求得a、n的值．

解答 解：（1）把函數(shù)y=sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的$\frac{1}{2}$倍（縱坐標(biāo)不變），可得y=sin2x的圖象；
再將所得的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)f（x）=sin2（x+$\frac{π}{6}$）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象，
故函數(shù)f（x）的解析式為 f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）若對(duì)任意的x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{12}$]，2x+$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[0，1]，f²（x）-mf（x）-1≤0恒成立，
令t=f（x）∈[0，1]，則g（t）=t²-mt-1≤0恒成立，故有g(shù)（0）=-1≤0，且 g（1）=-m≤0，解得m≥0．
（3）∵F（x）=f（x）-a在[0，nπ]上恰有2017個(gè)零點(diǎn)，故f（x）的圖象和直線y=a在[0，nπ]上恰有2017個(gè)交點(diǎn)．
在[0，π]上，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{3}$]．
①當(dāng)a＞1，或a＜-1時(shí)，f（x）的圖象和直線y=a在[0，nπ]上無(wú)交點(diǎn)．
②當(dāng)a=1，或a=-1時(shí)，f（x）的圖象和直線y=a在[0，π]僅有一個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)，f（x）的圖象和直線y=a在[0，nπ]上恰有2017個(gè)交點(diǎn)，則n=2017．
③當(dāng)-1＜a＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，或$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜a＜1時(shí)，f（x）的圖象和直線y=a在[0，π]上恰有2個(gè)交點(diǎn)，
f（x）的圖象和直線y=a在[0，nπ]上有偶數(shù)個(gè)交點(diǎn)，不會(huì)有2017個(gè)交點(diǎn)．
④當(dāng)a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí)，f（x）的圖象和直線y=a在[0，π]上恰有3個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)，n=1008，才能使f（x）的圖象和直線y=a在[0，nπ]上有2017個(gè)交點(diǎn)．
綜上可得，當(dāng)a=1，或a=-1時(shí)，n=2017；當(dāng)a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí)，此時(shí)，n=1008．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，二次函數(shù)的性質(zhì)，正弦函數(shù)的定義域和值域，正弦函數(shù)的圖象特征，屬于中檔題．