Question

15．圓柱的表面積為S，當圓柱的體積最大時，圓柱的底面半徑為（　�。�

• A． $\sqrt{\frac{S}{3π}}$
• B． $\sqrt{3πS}$
• C． $\frac{{\sqrt{6πS}}}{6π}$
• D． $3π\sqrt{6πS}$

Answer 1

分析 設圓柱的高為h、底面半徑為r，根據圓柱的表面積可得rh=$\frac{S}{2π}$-r²，構造V關于r的函數，利用導數求函數想最值，并求V取到最大值時r的值，可得答案．

解答 解：設圓柱的高為h、底面半徑為r，
則圓柱的表面積S=2πr²+2πrh=S，即rh=$\frac{S}{2π}$-r²，
∴V=πr²h=πr（$\frac{S}{2π}$-r²）=π（$\frac{S}{2π}$r-r³），
V′=π（$\frac{S}{2π}$-3r²）=0⇒r=$\sqrt{\frac{S}{6π}}$，
∴函數在區間（0，$\sqrt{\frac{S}{6π}}$]上單調遞增，在區間[$\sqrt{\frac{S}{6π}}$，+∞）上單調遞減，
∴r=$\sqrt{\frac{S}{6π}}$時，V最大，
故選：C．

點評 本題考查了圓柱的表面積公式與體積公式，考查了導數的應用及利用函數思想求最值，構造函數利用導數求函數的最值是解答本題的關鍵，一元三次函數求最值常用導數法．