Question

18．如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側面A₁ADD₁⊥底面ABCD，D₁A=D₁D=$\sqrt{2}$，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O為AD中點．
（1）求證：A₁O∥平面AB₁C
（2）求直線B₁C與平面C₁CDD₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連接CO、A₁O、AC、AB₁，推導出四邊形A₁B₁CO為平行四邊形，從而A₁O∥B₁C，由此能證明A₁O∥平面AB₁C．
（2）推導出D₁O⊥AD，從而D₁O⊥底面ABCD，以O為原點，OC、OD、OD₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線B₁C與平面C₁CDD₁所成角的正弦值．

解答 證明：（1）如圖，連接CO、A₁O、AC、AB₁
則四邊形ABCD為正方形，∴OC=AB=A₁B₁，
∴四邊形A₁B₁CO為平行四邊形，∴A₁O∥B₁C，
又A₁O?平面AB₁C，B₁C?平面AB₁C
∴A₁O∥平面AB₁C．…（6分）
解：（2）∵D₁A=D₁D，O為AD中點，∴D₁O⊥AD，
又側面A₁ADD₁⊥底面ABCD，∴D₁O⊥底面ABCD，
以O為原點，OC、OD、OD₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的坐標系，
則C（1，0，0），D（0，1，0），D₁（0，0，1），A（0，-1，0），A₁（0，-2，1），
∴$\overrightarrow{DC}$=（1，-1，0），$\overrightarrow{D{D}_{1}}$=（0，-1，1），$\overrightarrow{{D}_{1}A}$=（0，-1，-1），$\overrightarrow{{D}_{1}{C}_{1}}$=（1，-1，0），
設$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）為平面C₁CDD₁的一個法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=x-y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{D{D}_{1}}=-y+z=0}\end{array}\right.$令z=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，1），
由（1）知B₁C∥A₁O，∴直線A₁O與平面C₁CDD₁所成的角和直線B₁C與平面C₁CDD₁所成的角相等．
記直線B₁C與平面C₁CDD₁所成的角為θ，且$\overrightarrow{O{A}_{1}}$=（0，-2，1），
∴sinθ=$\frac{|\overrightarrow{O{A}_{1}}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{O{A}_{1}}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{15}$，
∴直線B₁C與平面C₁CDD₁所成角的正弦值是$\frac{\sqrt{15}}{15}$．…（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想，是中檔題．