Question

2．設數列{a_n}的前n項和是S_n，滿足$n（{{S_{n+1}}+{S_{n-1}}-2{S_n}}）=2+{a_n}（{n≥2，n∈{N^*}}）$，a₁=1，a₂=2，則當n≥2時，S_n=n²-n+1．

Answer 1

分析 $n（{{S_{n+1}}+{S_{n-1}}-2{S_n}}）=2+{a_n}（{n≥2，n∈{N^*}}）$，a₁=1，a₂=2，可得n（a_n+1-a_n）=2+a_n，即na_n+1=2+（n+1）a_n，n≥2時可得：（n-1）a_n=2+na_n-1．相減可得：a_n+1+a_n-1=2a_n，n≥2時，數列{a_n}是等差數列．即可得出．

解答 解：∵n（S_n+1+S_n-1-2S_n）=2+a_n（n≥2，n∈N^*），a₁=1，a₂=2，
∴n（a_n+1-a_n）=2+a_n，即na_n+1=2+（n+1）a_n，
n≥2時可得：（n-1）a_n=2+na_n-1．
相減可得：a_n+1+a_n-1=2a_n，
∴n≥2時，數列{a_n}是等差數列．
又2（a₃-2）=2+2，解得a₃=4．
∴公差d=4-2=1．
∴n≥2時，S_n=1+2（n-1）+$\frac{（n-1）（n-2）}{2}$×2=n²-n+1．
故答案為：n²-n+1．
F（x）=f（x）-a

點評 本題考查了等差數列的通項公式與求和公式、數列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．