Question

設數列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=3a_n，n∈N^*
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式及前n項和S_n；
（Ⅱ）已知數列{b_n}是等差數列，T_n為{b_n}的前n項和，且b₁=a₁+a₂+a₃，b₃=a₃，求T_n的最大值．

Answer 1

考點：等比數列的前n項和,等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由已知可得{a_n}是首項為1，公比為3的等比數列，然后直接利用等比數列的通項公式和前n項和得答案；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的通項公式和前n項和求得等差數列{b_n}的公差d，代入等差數列的前n項和公式后利用二次函數求得最值．

解答： （Ⅰ）由a₁=1，a_n+1=3a_n，
可得{a_n}是首項為1，公比為3的等比數列，
∴an=3n-1，
Sn=

1×(1-3n)

1-2

=

1

2

(3n-1)；
（Ⅱ）由b₁=a₁+a₂+a₃=S₃=

1

2

(33-1)=13，b₃=9，
得等差數列{b_n}的公差d=

b3-b1

2

=

9-13

2

=-2，
∴Tn=13n+

n(n-1)

2

×(-2)=-n2+14n．
當n=7時，T_n有最大值49．

點評：本題考查了等比數列的通項公式，考查了等比數列的前n項和，考查了等差數列的性質，訓練了二次函數最值的求法，是基礎的計算題．