Question

在單調遞增數列{a_n}中，a₁=1且a_n+1=

2a 2 n

an+1-an

（n∈N^*）
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）已知b_n=

3n-1

an

，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由a_n+1=

2a 2 n

an+1-an

，得

an+1

an

-2

an

an+1

=1，令t=

an+1

an

＞1，即可求得

an+1

an

=2．說明數列{a_n}是以1為首項，以2為公比的等比數列，由等比數列的通項公式求得an=2n-1；
（2）把{a_n}的通項公式代入b_n=

3n-1

an

，然后利用錯位相減法求數列{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）由a_n+1=

2a 2 n

an+1-an

，得an+12-2an2=an+1an，
∴

an+1

an

-2

an

an+1

=1，令t=

an+1

an

＞1，
則t-

2

t

=1，解得：t=2．
即

an+1

an

=2．
則數列{a_n}是以1為首項，以2為公比的等比數列，
則an=2n-1；
（2）b_n=

3n-1

an

=

3n-1

2n-1

，
則Tn=

2

20

+

5

21

+

8

22

+…+

3n-1

2n-1

．

1

2

Tn=

2

21

+

5

22

+…+

3n-1

2n

．
兩式作差得：

1

2

Tn=2+3(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)-

3n-1

2n

=2+3•

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

3n-1

2n

=5-

3

2n-1

-

3n-1

2n

．
∴Tn=10-

3

2n-2

-

3n-1

2n-1

．

點評：本題考查了數列的函數特性，考查了等比關系的確定，訓練了錯位相減法求數列的和，是中檔題．