Question

16．已知直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t為參數），在以坐標原點為極點、x軸的非負半軸為極軸建立的極坐標系中，圓C的極坐標方程為$ρ=2\sqrt{2}$．
（1）求直線l被圓C截得的弦長；
（2）若M的坐標為（-1，0），直線l與圓C交于A，B兩點，求|MA|•|MB|的值．

Answer 1

分析 （1）將直線l的參數方程消去參數t，化為普通方程得$x-\sqrt{3}y+1=0$，圓C的極坐標方程化為普通方程可得x²+y²=8，圓心C到直線l的距離d=$\frac{1}{2}$，由此能求出直線l被圓C截得的弦長．
（2）把$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$代入x²+y²=8，得${t^2}-\sqrt{3}t-7=0$，由此能出|MA|•|MB|的值．

解答 解：（1）∵直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t為參數），
將直線l的參數方程消去參數t，化為普通方程可得$x-\sqrt{3}y+1=0$，
∵圓C的極坐標方程為$ρ=2\sqrt{2}$，
∴圓C的極坐標方程可化為ρ²=8，化為普通方程可得x²+y²=8，
圓心C到直線l的距離為$d=\frac{1}{{\sqrt{1+3}}}=\frac{1}{2}$，
故直線l被圓C截得的弦長為$2\sqrt{8-{{（{\frac{1}{2}}）}^2}}=\sqrt{31}$．
（2）把$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$代入x²+y²=8，
得${t^2}-\sqrt{3}t-7=0$．（*）
設t₁，t₂是方程（*）的兩個根，則t₁t₂=-7，
故|MA|•|MB|=|t₁t₂|=7．

點評 本題考查弦長的求法，考查兩線段的乘積的求法，考查韋達定理、均值不等式、直角坐標方程、極坐標方程、參數方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．