Question

6．某企業生產一種產品．日銷售量x（x∈N^*，x≤40）（百件）與產品銷售價格p（萬元/百件）之間的關系為p（x）=32-$\frac{16x}{x+2}$，已知生產x（百件）該產品所需的成本C（x）=17x-10（萬元） 
（1）把該產品每天的利潤f（x）表示成日產量x的函數：
（2）求當日產量為多少時，生產該產品每天獲得的利潤最大？

Answer 1

分析 （1）用銷售額減去成本即可得出f（x）的解析式；
（2）利用導數判斷f（x）的單調性，從而可得出f（x）取得最大值時對應的x的值．

解答 解：（1）f（x）=x（32-$\frac{16x}{x+2}$）-（17x-10）=15x-$\frac{16{x}^{2}}{x+2}$+10（x∈N^*，x≤40），
（2）f′（x）=15-$\frac{16{x}^{2}+64x}{（x+2）^{2}}$=$\frac{-{x}^{2}-4x+60}{（x+2）^{2}}$=$\frac{-（x-6）（x+10）}{（x+2）^{2}}$，
∴當0＜x＜6時，f′（x）＞0，當6＜x＜40時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，6]上單調遞增，在（6，40]上單調遞減，
∴當x=6時，f（x）取得最大值．
∴當日產量為6百件時，生產該產品每天獲得的利潤最大．

點評 本題考查了函數的應用，函數單調性與最值的關系，屬于中檔題．