Question

11．如圖，在以A，B，C，D，E為頂點的五面體中，O為AB的中點，AD⊥平面ABC，AD∥BE，AC⊥CB，$AC=2\sqrt{2}$，AB=2BE=4AD=4．
（1）在圖中過點O作平面α，使得α∥平面CDE，并說明理由；
（2）求直線DE與平面CBE所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）在BE上取點F，使得$BF=\frac{1}{4}BE$，在BC上取點H，使$BH=\frac{1}{4}BC$，連接OF，FH，OH，取BE的中點G，連接AG，推導出AGED是平行四邊形，從而DE∥AG，再推導出OF∥AG，OF∥DE，從而OF∥平面CDE，再推導出FH∥平面CDE，由此能推導出α∥平面CDE．
（2）連接CG，推導出BE⊥平面ABC，從而BE⊥AC，進而AC⊥平面EBC，∠AGC是AG與平面CBE所成的角，由DE∥AG，得AG與平面CBE所成的角等于DE與平面CBE所成的角，由此能出直線DE與平面CBE所成角的正切值．

解答 解：（1）如圖，在BE上取點F，使得$BF=\frac{1}{4}BE$，在BC上取點H，使$BH=\frac{1}{4}BC$，
連接OF，FH，OH，則平面OFH即為所求的平面α．  …（2分）
理由如下：
取BE的中點G，連接AG，∵BE=2AD，G為BE中點，∴AD=EG，
∵AD∥BE，∴AD∥EG，∴AGED是平行四邊形，∴DE∥AG，
△ABG中，F是BG中點，O是AB中點，
∴OF是中位線，∴OF∥AG，∴OF∥DE，…（3分）
OF?平面CDE，DE?平面CDE，∴OF∥平面CDE．                  …（4分）
又△BCE中，$BF=\frac{1}{4}BE$，BH=$\frac{1}{4}$BC，∴FH∥CE，
∵FH?平面CDE，CE?平面CDE，∴FH∥平面CDE，…（5分）
又OF∩FH=F，OF?平面OFH，FH?平面OFH，
∴平面OFH∥平面CDE，即α∥平面CDE． …（6分）
（2）連接CG，∵AD⊥平面ABC，
又∵AD∥BE，∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AC，
又AC⊥CB∴AC⊥平面EBC…（7分）∴∠AGC是AG與平面CBE所成的角，
∵DE∥AG，∴AG與平面CBE所成的角等于DE與平面CBE所成的角，…（8分）
在Rt△ABC中，AB=4，$AC=2\sqrt{2}$，∴$BC=2\sqrt{2}$，
∴在Rt△BCG中，$CG=\sqrt{B{C^2}+B{G^2}}=3$…（9分）
∴在Rt△ACG中，$tan∠AGC=\frac{AC}{CG}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
∴直線DE與平面CBE所成角的正切值為$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$…（10分）

點評 本題考查滿足線面平行的點的位置的確定與求法，考查線面角的正切值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．