Question

3．如圖所示，三棱錐P-ABC中，D是AC的中點(diǎn)，PA=PB=PC=$\sqrt{5}$，AC=2$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{6}$．
（1）求證：PD⊥平面ABC；
（2）（理科做文科不做）求二面角P-AB-C的正切值大小．
（3）（文科做理不做）線段AB上是否存在一點(diǎn)E，使得BC∥面PDE？若存在，請(qǐng)給出證明，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接BD，推導(dǎo)出PD⊥AC，AB⊥BC，PD⊥BD，由此能證明PD⊥平面ABC．
（2）（理科做文科不做）取AB的中點(diǎn)E，連接DE、PE，則DE∥BC，由AB⊥BC，得AB⊥DE，由PD⊥平面ABC，得PD⊥AB，由AB⊥DE，得AB⊥平面PDE，從而PE⊥AB，進(jìn)而∠PED是二面角P-AB-C的平面角，由此能示出二面角P-AB-C的正切值．
（3）（文科做理不做）線段AB上存在中點(diǎn)E，使得BC∥平面PDE．由中位線定理得DE∥BC，由此能證明BC∥面PDE．

解答 證明：（1）連接BD，∵D是AC的中點(diǎn)，PA=PB=PC=$\sqrt{5}$，∴PD⊥AC．
∵AC=2$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{6}$，∴AB²+BC²=AC²．
∴∠ABC=90°，即AB⊥BC．
∴BD=$\frac{1}{2}$AC═$\sqrt{2}$=AD．
∵PD²=PA²-AD²=3，PB=$\sqrt{5}$，
∴PD²+BD²=PB²．∴PD⊥BD．
∵AC∩BD=D，∴PD⊥平面ABC..…（5分）
解：（2）（理科做文科不做）取AB的中點(diǎn)E，連接DE、PE，
由E為AB的中點(diǎn)，知DE∥BC，
∵AB⊥BC，∴AB⊥DE．∵PD⊥平面ABC，∴PD⊥AB．
又AB⊥DE，DE∩PD=D，
∴AB⊥平面PDE，∴PE⊥AB．
∴∠PED是二面角P-AB-C的平面角．
在△PED中，DE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，PD=$\sqrt{3}$，∠PDE=90°，
∴tan∠PED═$\frac{PD}{DE}=\sqrt{2}$．
∴二面角P-AB-C的正切值為$\sqrt{2}$．…（12分）
（3）（文科做理不做）線段AB上存在中點(diǎn)E，使得BC∥平面PDE．
證明如下：
∵D是AC中點(diǎn)，E是AB中點(diǎn)，∴DE∥BC，
∵BC?平面PDE，DE?平面PDE，
∴BC∥面PDE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，考查滿足線面平行的位置的判斷與證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．